## 【數學推論 3】 下面是模型裡【例三】顯示物體運動的圖 我們要證明：根據牛頓定律，物體 A 的軌道是一個橢圓。
### 【結論】 根據【牛頓運動定律、萬有引力定律】，當兩個物體A、B的質量懸殊（A << B）時，我們可以算出，A 繞著 B 旋轉，A 的軌道的數學式子是 (21) r = h2／(G*M*( 1 + e * cosθ)) 是一個橢圓。 其中， r 是 B 到 A 的距離 h 是一個常數 G（萬有引力常數）= 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M 是引力中心物體 B 的質量 e 是軌道橢圓的「偏心率」 對照
克卜勒第一定律 太陽系的所有行星，各在以太陽為焦點的橢圓軌道上運行。
### 【推演過程】 ### 符號的說明 目前的網頁規格並不適合編排一些數學式子。我們做了一些變通，規則如下 （1）< a > 表示一個向量，它的長度用 a 表示。 （2）a' 表示 a 對時間 t 的微分。即 a' ≡ da／dt。 （3）a" 表示 a 對時間 t 的二次微分。即 a" ≡ d2a／dt2。 （4）dt(xxx) 表示 x 對時間 t 的微分。即 dt(xxx) ≡ d(xxx)／dt。 （5）「@」表示向量的「外積」 cross product ，<a>x<b>我們寫成<a>@<b>。 我們認為，這樣可以使數學式子清楚些。 ### 角動量< h > 首先我們先定義 A 的「角動量」< h >： (22) < h > ≡ < r > @ < v > < r > 是代表物體 B 到物體 A 的距離向量 < v > 是代表物體 A 的速度 因為< v >是 A 的速度，也就是說 < v >≡ < r >'，因此，也可以寫成 (23) < h > ≡ < r > @ < r >' 由定義可知< h >是一個向量。由於 < r > 和 < v > 都是在軌道面上，因此，它們的「外積」會垂直於軌道面，也就是說< h >永遠垂直於 A 的軌道面。 ### 角動量< h >是個常數 首先我們來證明：如果牛頓萬有引力定律成立，而 A 除了受到 B 的引力沒有受到任何其他外力的話，A 的「角動量」< h >，無論「方向」或「長度」都永遠不會改變。 【證明】
我們用下面的圖來標示各符號代表的意義： 這是一張立體圖形，(h)垂直於<r>和<r>'兩個向量。 根據定義 (23) < h > = < r > @ < r >' 將(23)兩邊對 t 微分，得到 (24) d/dt(< h >) = < r >' @ < r >' + < r > @ < r >" (24) 右邊的第一項是 0 （任何向量與他自己的外積是0），因此得到 (25) d/dt(< h >) = < r > @ < r >" 我們現在來證明，在 A 只受到 B 的萬有引力下，(25)的等號右邊是 0。 根據萬有引力定律，A受到如下的引力： <F> = - G*MA*MB< r >／ r3 根據【牛頓第二運動定律】會使 A 得到如下的加速度： (26) < r >" = - G*MB< r >／ r3 將(26)代入(25)，得到(25)的等號右邊是 0(因<r>@<r>為0)。 由此證明，< h >不會隨時間改變。
### 找出軌道的數學式子 首先我們把 G*MB 用μ來代替，以簡化式子，使(26)變成 (27) < r >" = - μ*< r >／ r3 將(27)等號兩邊都乘以@ < h >得到 (28) < r >" @ < h > = - μ*< r >／ r3 @ < h > 將(23)代入右邊，得到 = - μ／ r3 *< r > @ ( < r > @ < r >' ) 將<a>@<b>@<c>=(<a>°<c>)<b> - (<a>°<b>)<c>公式代入右邊，得到 （「° 」表示「內積」dot product） = - μ／ r3 * ( (< r > ° < r >')*< r > - (< r > ° < r >)* < r >' ) = - μ／ r3 * ( r * r'*< r > - r2* < r >' ) 只是將 (?)' 改用d(2)/dt代入右邊，得到 = - μ／ r3 * ( r * d( r )/dt * < r > - r2* d (< r >)/dt ) 將 r3 放入括號內，得到 = - μ* ( dt( r )* < r >／ r2 * dt(< r >)／ r ) 將 - 放入括號內，得到 = μ* ( dt(< r >)／ r - dt( r )* < r >／ r2 ) 最普通的微分公式，得到 = μ* ( dt(< r >／ r ) ) (28)最後的結果是 (29) < r >" @ < h > = μ* ( dt(< r >／ r ) )/dt 將(29)等號兩邊積分，得到（請記住，< h >是一個常數） (30) < r >' @ < h > = μ* < r >／ r + < c > (30)中，< c >是一個向量常數。將(30)改寫成 (31) < r >' @ < h > = μ* (< r >／ r + < e >) (31)中，< e >是一個向量常數。 將(31)等號兩邊各用< r > ° 來乘， 左邊 = < r > ° < r >' @ < h > 用 <a>°<b>@<c> = <c>°<a>@<b>公式代入，得到 < h > ° < r > @ < r >' 用(23) < h > ≡ < r > @ < r >'代入，得到 < h > ° < h > 得到 h2 右邊 = < r > °μ* (< r >／ r + < e >) 將< r >乘入括號內，得到 μ* ( r + < r > °< e >) 將 r*e* cosθ 代表< r > °< e >（θ是< r >和< e >之間的夾角。），得到 μ* r* (1 + e* cosθ) 因此， h2 =μ* r* (1 + e* cosθ) 也就是 (21) r = h2／(G*M*( 1 + e * cosθ))

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