# 【數學推論】總表

> 我們把所有的數學推論列舉在下面，以方便查閱引用：

### 【數學推論 1】 在上面我們用兩種方式產生橢圓，但是，我們並沒有證明兩種方式得到的橢圓是相同的。 我們在此做一個簡單的證明。有興趣的讀者不妨參考一下。無興趣的讀者可略過。
### 【結論】 一個橢圓的「半長軸」為 1，圓心到焦點的距離為 e (0≦e＜1)，則 （1）它的「半短軸」為√(1 - e2) （2）它的數學式子是 (7) x = cos(t) (8) y = √(1 - e2)*sin(t) 0 ≦ t ≦ 2π, 0< e <1 （3）它的圓周上所有的點到兩焦點的「距離和」=長軸的長=2
### 【推演過程】

### 【數學推論 2】 在此證明：(7)(8)兩式所代表的圖形，可轉換成（14）式。 為方便起見，我們令半長軸的長度是 1。
### 【結論】 如下圖所示 一個橢圓的任意點（x,y）的數學式子是 (7) x = cos(t) (8) y = √(1 - e2)*sin(t) 0 ≦ t ≦ 2π, 0< e <1 則它與焦點的距離 r 可表達成 (14) r =(1 - e2)／(1 - e*cosθ) 0 ≦ t ≦ 2π, 0< e <1 其中，θ是（x,y）與長軸的夾角，如上圖所示。
### 【推演過程】

### 【數學推論 3】 下面是模型裡【例三】顯示物體運動的圖 我們要證明：根據牛頓定律，物體 A 的軌道是一個橢圓。
### 【結論】 根據【牛頓運動定律、萬有引力定律】，當兩個物體A、B的質量懸殊（A << B）時，我們可以算出，A 繞著 B 旋轉，A 的軌道的數學式子是 (21) r = h2／(G*M*( 1 + e * cosθ)) 是一個橢圓。 其中， r 是 B 到 A 的距離 h 是一個常數 G（萬有引力常數）= 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M 是引力中心物體 B 的質量 e 是軌道橢圓的「偏心率」 對照
克卜勒第一定律 太陽系的所有行星，各在以太陽為焦點的橢圓軌道上運行。
【推演過程】

【數學推論 4】
【結論】 假設 h 是軌道上物體的角動量的長度 ， A 是中心點到軌道物體之間連線所掃瞄的面積，則 (41) A' = h / 2 對照
克卜勒第二定律 由太陽連至一行星的直線段，於相等時間內，掃過相等的面積。
### 【推演過程】

### 【數學推論 5】
### 【結論】 假設 a 是「軌道半長軸長度」 T 是「軌道週期 」 則二者有如下的關係： (55) a3／T2 = μ／(4*π2 ) 其中 μ ≡ G*M G（萬有引力常數）= 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M 是引力中心物體 B 的質量 地球質量 ：5.974*1027 gm 太陽質量 ：1.989*1033 gm 對照
克卜勒第三定律 行星與太陽平均距離為R，行星繞太陽的週期為T，則各個行星的 R3／T2 比值皆相同。
### 【推演過程】

### 【數學推論 6】
### 【結論】 （A） 軌道上的物體，和「引力中心」的「距離」為 r，它運行的「速率」為 v，則 r 和 v 之間有如下關係： (91) v2 / 2 - μ/ r = - μ/(2*a) 在此， a = 半長軸 μ = G*M G（萬有引力常數）=6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M（地球質量） = 5.974*1027 gm (91)是學物理的人所熟知的式子，其中 v2 / 2 項是物體的「動能」， - μ/ r 項是物體的「位能」。 這個式子表示「能量不變定律」，「動能」和「位能」的總和永遠不變。（等號右邊是一個常數；「位能」永遠是負數，物體在無限遠時，位能最大，為 0 ，越接近「引力中心」，位能越小）。 （B） 由上面式子可推算出：物體在「最近點」、「最遠點」、「半短軸端點」三點的速率分別為， (92) 「最近點」速率 = √( ((1 + e)*μ)／( (1 - e) * a) ) (93) 「最遠點」速率 = √( ((1 - e)*μ)／( (1 + e) * a) ) (94) 「半短軸端點」速率 = √(μ／ a )
### 【推演過程】

### 【數學推論 7】 在【牛頓運動定律 、 萬有引力定律】主題中，我們算出在萬有引力下，軌道的數學式子是 (21) r = h2／(G*M*( 1 + e * cosθ)) 是一個橢圓。我們可以用此結果，進一步算出「宇宙第一速度」和「宇宙第二速度」。
### 【結論】 (69)「宇宙第一速度」= √( G*M／d ) = √(( 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2)*5.974*1027 gm／6636km ) = √(( 60.3 km2sec-2 ) = √(( 60.3 km2sec-2 ) = 7.8 km／sec (70)「宇宙第二速度」= √( 2* G*M／d ) = √( 2 ) * 「宇宙第一速度」= 1.414 * 7.8 km／sec = 11 km／sec d（地球的半徑 ）= 6676 km G（萬有引力常數）=6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M（地球質量） = 5.974*1027 gm
### 【推演過程】