# 【牛頓運動定律及萬有引力定律】

## 【主題說明】

伽利略

雖然說牛頓的學說震古爍今，許多前人（尤其是伽利略）的貢獻仍不可不提。我們來列一下在伽利略之前，十六世紀先後發生的大事：

> > 1492 年，哥倫布（Christofer Columbus, 1446-1506, 義大利人）發現新大陸。
> > 1512 年，麥哲倫（Ferdinand Magellan,1480-1521, 葡萄牙人）環繞世界一週。
> > 1543 年，哥白尼（Nicolaus Copernicus,1473-1543,波蘭人）發表『論天上星體的繞轉』（On the Revolutions of the Heavenly Spheres），主張太陽是宇宙中心（heliocentric hypothesis）。
> > 克卜勒在1609年發表他的第一和第二定律，1619年發表他的第三定律。

伽利略（Galileo Galilei 1564-1642, 義大利人) 比克卜勒晚生 7 年，而比克卜勒晚 12 年去世。
牛頓（Issac Newton 1642-1727, 英國人)則是在伽利略去世之年出生。

伽利略是以天文學家和物理學家並稱於世。

天文方面

(1) | 他在1610年用望遠鏡觀察木星，發現了木星的4顆衛星（目前木星的衛星數目已經增加到16顆）。為了紀念他，1989年發射，專門探測木星和它的衛星的太空船就命名為 『伽利略號』。『伽利略號』於1995年到達木星，傳回許多木星和他衛星的照片，至今還在木星上空繞轉。
(2) | 他也用望遠鏡觀察「銀河」，發現銀河是由無數肉眼看不清楚的小星星構成的。
(3) | 他用望遠鏡觀察月亮，記錄和討論月亮上的「山岳」、「海洋」和「火山口」，並將它們命名。
(4) | 他觀察太陽黑子的移動，認為太陽也會自轉。
(5) | 他發現金星也像月亮一樣有完整的盈虧，認為金星應該繞著太陽旋轉才可能有這種現象。

物理方面

在伽利略之前，物理學家對物體的運動都採用「亞里士多德」（Aristotle, 西元前 384-322，希臘大哲學家）的信念。

下面這兩點是伽利略在物理方面著名的新觀點

（一）等重力加速度

> 亞里士多德派的物理學者認為：物體掉落地面的速度與它的重量成正比，兩倍重的物體，掉落的速度會加倍。伽利略認為：輕的物體速度會較慢是因為受到「空氣阻力」的關係，如果沒有「空氣阻力」，物體掉落地面的速度會一樣。為了紀念他和他的論點，阿波羅登月小組在月球上用羽毛和鐵鎚做實驗，證實在真空的月球，兩者會同時到達月球表面。

（二）物體的慣性

> 亞里士多德派的物理學者認為：（1）地球上的物體都有它「自然」的位置（回歸地面就是此規則的一種表現），所有物體都會努力回到它自然的位置。（2）物體會有不自然的運動，乃源自於外力，外力消失，運動就停止。
> 伽利略認為上述的觀點純屬人的猜測，事實應該由「自然」本身來呈現。他要人們思考下面的實驗：將一個球在平滑的斜坡上滾動，如果往上滾動，球會慢慢減速；如果往下滾動，球會慢慢加速；因此，如果在一個平面上滾動，應該會永久持續滾動。在水平面上，球會停下來是因為摩擦力的關係。平面越光滑，球可以滾越遠。

##
牛頓

我國有句古話：『天不生仲尼，萬古如長夜』。這句話很適合用來形容牛頓在物理界乃至人類文明的地位。

牛頓年輕時就發明了微積分。他在光學上很有貢獻，發明了三稜鏡和反射望遠鏡。

在牛頓的時代，人們已熟知克卜勒定律，知道行星的軌道是橢圓的。也知道伽利略主張的慣性運動，天文學家也猜測太陽對行星的吸引力使得行星繞著太陽轉。牛頓和虎克、哈雷、雷恩**等人就常討論這方面的問題。但是，如果沒有牛頓，一切都是片段、含混的描述。牛頓以最簡潔、優美的形式，把地球上的物體運動和天體的運行合而為一。

**[註] 虎克 (Robert Hooke, 1635-1703) 「虎克定律」的發明人，「虎克定律」描述彈簧「彈力大小」與「彈簧長度」的關係。 哈雷 (Edmund Halley, 1656-1742) 在牛頓的運動和萬有引力定律發表之後的1682年，有一顆慧星出現。哈雷仔細觀察這顆慧星的軌道，算出他最遠會到離太陽35AU（Astronomical Unit, 1AU=地球與太陽的距離=1 天文單次）根據牛頓定律可以算出，它約每76年會出現一次。他認為1531年和1607年出現的慧星也是同一顆。他預言這顆慧星在1758年還會出現。雖然他不及見到1758年的慧星，它的如期出現，帶給世人極大的興奮。人們自然就以他的名字為這顆慧星命名。這就是「哈雷慧星」的由來。 雷恩 (Christopher Wren, 1632-1723) 聖保羅大教堂的設計者。

牛頓在1677─1678年即以萬有引力定律，推算出克卜勒各定律，卻遲至1687年才出版他的「自然哲學的數學原理」（The Mathematical Principles of Philosophy)一書。牛頓學說的開創性和重要性，立即被大家所體認。這可以從他同時代的詩人對他的讚美中看得出來。詩人亞歷山大•波普有這樣的詩句：『Nature and Nature's laws lay hid in night; God said let Newton be! and all was light.』（大自然和它的定律靜躺在黑夜裡，上帝說：讓牛頓自由發揮吧！於是到處都立即充滿亮光。）

### 【牛頓運動定律】和【牛頓萬有引力定律】

### 【牛頓第一運動定律】 物體若不受外力，靜者恆靜，動者恆沿一直線作等速運動。
### 【牛頓第二運動定律】 物體的質量為 m ,受到 f 的作用力，則會產生 a 的加速度，三者有如下的關係 < f > = m*< a > < f > ：作用力 m ：物體的質量 < a > ：物體的加速度 在此，< .. >代表一個向量。< f > 和 < a >都是向量。
### 【牛頓第三運動定律】 兩物體A、B間，凡A對B有一個作用力 f 的產生，則B對A也有一個反作用力 f'，f 和 f' 大小相等、方向相反。
### 【牛頓萬有引力定律】(Newton's universal law of gravitation) 任何兩個物體間存在作用力，其大小與兩物體質量的乘積成正比，與兩物體的距離成反比。 F = G*M1*M2／d2 F：作用力 G：常數 M1：第一個物體的質量 M2：第二個物體的質量 d：兩物體之間的距離 G：萬有引力常數 （6.7*10-8 cm3gm-1sec-2） 地球質量 ：5.974*1027 gm 太陽質量 ：1.989*1033 gm

所謂「定律」（law），都是人類所發明，它符合自然的運行，經得起一再的實驗，它必須很簡明，卻能解釋複雜的物理現象。一個定律通常始於「假說」（hypothesis），是一種猜測，當它一再被「用」來解釋各種現象，都符合觀測結果，普遍地被「接受」與「使用」，它就被稱為「定律」。

有些「定律」比另一些「定律」更「基本」，例如【牛頓運動、萬有引力定律】比「克卜勒三定律」更「基本」，因為，我們可以根據前者推論出後者。越「基本」的「定律」越重要，科學家們的目標就是要『找出最少最基本的定律解釋宇宙的所有現象』。

一個「定律」必須有用，才有存在的價值。【牛頓運動、萬有引力定律】不但解釋了克卜勒三個定律，預測人造衛星的可能性（將近三百年後才有第一顆人造衛星進入軌道），也提供三百年來工程和科學的基礎。

我們來看看他如何解釋「克卜勒三個定律」。

### 由【牛頓運動、萬有引力定律】推導【克卜勒第一定律】

在本主題的模型裡，可以設定兩個物體不同的「質量」和「初速」，觀察它們運動的情形。在【例三】裡我們看到當兩個物體的質量懸殊時，一個物體會繞著另一個物體旋轉，形成一個橢圓形軌道。行星繞太陽是如此，人造衛星繞地球也是如此。（地球質量 ：5.974*1027 gm，太陽質量 ：1.989*1033 gm，太陽約 = 33萬個地球）

## 【數學推論 3】 下面是模型裡【例三】顯示物體運動的圖 我們要證明：根據牛頓定律，物體 A 的軌道是一個橢圓。
【結論】 根據【牛頓運動定律、萬有引力定律】，當兩個物體A、B的質量懸殊（A << B）時，我們可以算出，A 繞著 B 旋轉，物體 A 的軌道的數學式子是 (21) r = h2／(G*M*( 1 + e * cosθ)) 是一個橢圓。 其中， r 是 B 到 A 的距離 h 是一個常數 G（萬有引力常數）= 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M 是引力中心物體 B 的質量 e 是軌道橢圓的「偏心率」 對照
克卜勒第一定律 太陽系的所有行星，各自在以太陽為焦點的橢圓軌道上運行。
【推演過程】

我們在此只證明 B 的軌道是一個橢圓形。

事實上，我們把 B 放在離 A 某個距離 d ，並給予一個初速 v，即可決定 B 的軌道的大小和形狀。這些都隱含在 h 裡。在【宇宙第一、二速度】主題裡，將詳細討論。

### 由【牛頓運動、萬有引力定律】推導【克卜勒第二定律】

既然【牛頓萬有引力定律】認為軌道上的物體有受到引力，我們可稱軌道上物體與引力中心的連線為「引力線」，「引力線」在軌道面上會掃瞄出面積。

「克卜勒第二定律」可說成說：『每單位時間，「引力線」在軌道上掃瞄過的面積永遠不變。』

在數學上，如果我們用 A 表示掃瞄過的面積，則 A 是一個隨時間遞增的函數。而 A'(A對時間的微分）是 A 增加的速度。因此，「克卜勒第二定律」用數學表示，就是

> > > A' = 常數

在上文裡，我們推演出一個物體繞另一個比它重很多的物體，軌道是一個橢圓。

我們有定義軌道上物體的角動量(23) < h > ≡ < r > @ < r >'，我們也證明出它的「方向」或「長度」都永遠不會改變。

在此，我們要證明 A' = h （h 是< h >的「長度」）。既然 h 不變，自然就有 A' = 常數 的結論。

【數學推論 4】
【結論】 假設 h 是軌道上物體的角動量的長度 ， A 是中心點到軌道物體之間的引力線所掃瞄的「面積」，則 (41) A' = h / 2 對照
克卜勒第二定律 由太陽連至一行星的直線段，於相等時間內，掃過相等的面積。
【推演過程】

### 由【牛頓運動、萬有引力定律】推導【克卜勒第三定律】

我們可以繼續推論，得到軌道半長軸長度 a 和軌道週期 T 的關係。

由這結果來看，「 克卜勒第三定律」與「牛頓定律」相符合。但「 克卜勒第三定律」還可以說得更精準些。

【數學推論 5】
### 【結論】 假設 a 是「軌道半長軸長度」 T 是「軌道週期 」 則二者有如下的關係： (55) a3／T2 = μ／(4*π2 ) 其中 μ ≡ G*M G（萬有引力常數）= 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M 是引力中心物體 B 的質量 地球質量 ：5.974*1027 gm 太陽質量 ：1.989*1033 gm 對照
克卜勒第三定律 行星與太陽平均距離為R，行星繞太陽的週期為T，則各個行星的 R3／T2 比值皆相同。
【推演過程】

## 【操作說明】

## 綜合說明

物體和三種向量

在這部份的畫面裡，右上角會顯示如下的圖例供讀者參考

圓球代表一個物體，物體上方有英文字母A、B、C…表示物體的名稱。

每個物體上有三個向量分別代表「速度」、「作用力」和「加速度」。

### 物體數據表

在畫面左上角會顯示如下的文數字

最上面一排是欄位的名稱，第二排開始，每一排是一個物體的資料。我們並沒有設定各項數據的單位，因為單位（例如公分、公克、秒等等）都是人定的，與定律本身無關。

### 改變物體的速度、作用力

要改變一個物體的速度、作用力，可以將滑鼠移到向量的箭頭上，按下〈左鈕〉拖拉箭頭，即可改變向量的方向和大小。如下圖所示
（在以下的操作裡，當滑鼠選到要改變的目標時，滑鼠的尖端會出現一個「+」號。）

（請注意）

1. 加速度這個向量是不能更改的，他永遠與作用力同方向，其大小是由（作用力／質量）得到。
2. 在萬有引力模型裡，作用力是不能更改的，它是由物體的質量和彼此距離決定的。

### 改變物體的位置

要改變一個物體的位置很簡單，只要把滑鼠移到物體圓球上，按下〈左鈕〉拖拉即可改變物體的位置。如下圖所示

### 改變物體的質量

要改變一個物體的質量，可以將滑鼠移到物體圓球上，按下〈右鈕〉拖拉，即可改變物體的質量。往上拖拉會增加物體的質量，往下拖拉則會減少。質量的增減可以在物體數據表裡看出來。
質量的增加是以1.1倍率遞增。質量的減少則是以0.9倍率遞減。下圖顯示操作的情形

（在所有的操作裡，當滑鼠選到要改變的目標時，滑鼠的尖端會出現一個「+」號。）

## 【牛頓運動定律】的操作

### 【牛頓第一運動定律】

物體若不受外力，靜者恆靜，動者恆沿一直線作等速運動。

按選此鈕 ，會顯示如下的圖形

圖中顯示三個物體，各在不同的位置，有不同的「初速」。

按下【停走】操作盤／ 按鈕，各物體即依其速度的方向和大小往前移動，如下圖

（【停走】操作盤／ 按鈕 是一個開／關性按鈕，再按它一次，可把它關閉）

【停走】操作盤／ 按鈕 也是一個開／關性按鈕，一開始是打開的。按它一下，可把它關閉，則物體移到新位置時，舊位置上的影像會被清除掉。

【停走】操作盤／ 按鈕 打開後會產生連續動作。如果不想連續動作，而要一步一步觀察，可以關閉【停走】操作盤／ 按鈕，然後點按【停走】操作盤／ 按鈕，則每按一次，物體前進一單位時間。

### 【牛頓第二運動定律】

物體的質量為 m ,受到 f 的作用力，則會產生 a 的加速度，三者有如下的關係 f = m*a

按選此鈕 ，會顯示如下的圖形

圖中顯示三個物體，各在不同的位置，有不同的「 初速」。

A和B都是受到一個往下的作用力，而有往下的加速度。A有一個往左上的初速，B則是靜止的。

按下【停走】操作盤／ 按鈕，會出現常見的畫面如下圖

A呈現一個拋物線的軌跡，B則出現一個直接往下加速掉落的軌跡。

C受到不同方向的作用力，在作用力的方向產生加速度。

讀者可用開頭敘述的方法，改變物體的質量、初速、作用力等，觀察軌道的變化。

### 【牛頓第三運動定律】

兩物體A、B間，凡A對B有一個作用力 f 的產生，則B對A也有一個反作用力 f'，f 和 f' 大小相等、方向相反。

按選此鈕 ，會顯示如下的圖形

圖中顯示四個物體。

A、B 兩個物體顯示物體（例如兩顆撞球）相撞的情況。

B物體上往右的作用力是A物體對B物體施加的作用力。

反之，A物體上往左的作用力是B物體對A物體施加的作用力。

因此，兩物體在對撞後會彈開來。

C、D 兩個物體顯示兩個物體互相吸引的情況（萬有引力的作用）。

在A、B 及 C、D兩種狀況，不管兩物體的質量、大小的差異，兩物體間的相互作用力和反作用力都是大小相等、方向相反。

（在這個模型裡，只能拖拉作用力的大小，其餘都不能改變）

## 【萬有引力定律】的操作

### 【牛頓萬有引力定律】(Newton's universal law of gravitation)

任何兩個物體間存在作用力，其大小與兩物體質量的乘積成正比，與兩物體的距離成反比。

【例一】

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圖中顯示兩個物體。兩個物體完全對稱，質量相等，初速大小相等，方向相反。兩物體間，由於萬有引力，互相有一個作用力，而產生加速度。

按下【停走】操作盤／ 按鈕，兩個物體即會互相繞著運轉，如下圖

再按一下【停走】操作盤／ 按鈕，將它關閉，物體即停止運行。

再按一下 按鈕，可以回到物體未運轉前的畫面。按一下【停走】操作盤／ 按鈕，可以慢慢一步一步觀察物體的運行。注意到，作用力永遠指向另一個物體，而隨著物體間的距離，作用力（及加速度）的大小也會隨著改變，與距離的平方成反比。

### 【例二】

按選此鈕 ，會顯示如下的圖形

圖中顯示兩個物體。兩個物體與例一相似，只是兩物體的質量不同，因此，兩者的加速度也不同。按下【停走】操作盤／ 按鈕，兩個物體即會互相繞著運轉，如下圖

【例三】

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圖中顯示兩個物體。A物體有一個向左的初速，B物體沒有初速，質量比A物體大很多。

按下【停走】操作盤／ 按鈕，兩個物體即會互相繞著運轉，如下圖

這個例子與行星繞太陽的情形相似。B物體幾乎沒有移動，A物體繞著B物體轉動，它行進的軌道是一個橢圓，以B物體為焦點。

[預測與觀察] (1) 降低A的初速，軌道會有什麼變化？ (2) 增加A的初速，軌道會有什麼變化？ (3) 增減A的質量，軌道會有什麼變化？ (4) 增減B的質量，軌道會有什麼變化？ 請務必先作預測，再用模型測試。

【例四】

按選此鈕 ，會顯示如下的圖形

這個例子與【例三】相似，只是A的初速較低。讀者可以改變初速、位置等等，以實驗克卜勒的三個定律。