### 【數學推論 5】
### 【結論】 假設 a 是「軌道半長軸長度」 T 是「軌道週期 」 則二者有如下的關係： (55) a3／T2 = μ／(4*π2 ) 其中 μ ≡ G*M G（萬有引力常數）= 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M 是引力中心物體 B 的質量 地球質量 ：5.974*1027 gm 太陽質量 ：1.989*1033 gm 對照
克卜勒第三定律 行星與太陽平均距離為R，行星繞太陽的週期為T，則各個行星的 R3／T2 比值皆相同。
### 【推演過程】 ### 橢圓的面積 在幾何學裡，我們知道「圓」和「橢圓」的面積分別是 「圓」的面積 = π* R 2 ( R 是圓的半徑） 「橢圓」的面積 = π* a * b ( a 是圓的半長軸，b 是圓的半短軸） 由【橢圓性質說明】主題的【數學推論 1】中，我們知道 b = √(1 - e2) * a ，因此， (51) 「橢圓」的面積 = π* a2 * √(1 - e2) ### 「週期」T 和「角動量」h 的關係 在【數學推論 4】中，我們得到下面的結論：引力線掃瞄的速度是一個常數，以數學式子表示是 (41) A' = h / 2 其中 h 是軌道上物體的角動量的長度 ， A 是中心點到軌道物體之間連線所掃瞄的面積。 「週期」T 的定義如下 T ≡ 物體在軌道上運行一圈所需要的時間 因此， (52) 軌道「橢圓」的面積 = T * 引力線掃瞄的速度 = T* h /2 由 (51) 和 (52) 得到 (53) T* h /2 = π* a2 * √(1 - e2) ### 「半長軸」a 和「角動量」h 的關係 在【數學推論 3】中，我們得到下面的結論 (21) r = h2／(G*M*( 1 + e * cosθ)) 也用μ代替 G*M 寫成 r = h2／(μ*( 1 + e * cosθ)) 根據橢圓的性質： 長軸長度 = r0 + r180 在此， r0 和 r180 分別表示 θ= 0 和 θ= 180 時 r 的長度。 如果以 a 表示半長軸，則 (54) 2*a = r0 + r180 = h2／(μ* ( 1 + e)) + h2／(μ*( 1 - e)) = 2 * h2／(μ *( 1 - e2)) ### 結論 由 (53) 和 (54) 消去 h 得到 (55) a3／T2 = μ／(4*π2 )

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