## 【數學推論 7】 在【牛頓運動定律 、 萬有引力定律】主題中，我們算出在萬有引力下，軌道的數學式子是 (21) r = h2／(G*M*( 1 + e * cosθ)) 是一個橢圓。我們可以用此結果，進一步算出「宇宙第一速度」和「宇宙第二速度」。
### 【結論】 (69)「宇宙第一速度」= √( G*M／d ) = √(( 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2)*5.974*1027 gm／6636km ) = √(( 60.3 km2sec-2 ) = 7.8 km／sec (70)「宇宙第二速度」= √( 2* G*M／d ) = √( 2 ) * 「宇宙第一速度」= 1.414 * 7.8 km／sec = 11 km／sec d（地球的半徑 ）= 6676 km G（萬有引力常數）=6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M（地球質量） = 5.974*1027 gm
### 【推演過程】 我們來看一下下面的圖： 假設在距離地球球心 d 的地方，我們給一個物體在垂直方向的初速 v ，我們來看看會形成什麼樣的軌道。 在【牛頓運動定律 、 萬有引力定律】主題的【數學推論 3】中，我們算出軌道的數學式子是 (21) r = h2／(G*M*( 1 + e * cosθ)) 其中， (61) G（萬有引力常數）=6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 (62) M（地球質量） = 5.974*1027 gm (63) < h > = < r > @ < v > h 是「角動量」 < r > 是代表物體位置的向量 < v > 是代表物體速度的向量 「@」是向量的「外積」 在上圖的情況裡， < r > 和 < v > 是互相垂直的，因此由(63)可得 (64) h = r * v 將(64)代入(21) 得到 (65) r = (r*v)2／(G*M*( 1 + e * cosθ)) 化簡後，得到 (66) 1 + e * cosθ = r*v2／(G*M) 因為我們在地球表面給物體水平方向初速，因此 (67) r = d（地球的半徑 6676 km）, θ= 0 將(64)(67)代入(21) 得到 (68) v = √( (1 + e)*G*M／d ) 數學式子(68)表示了「初速」v 和軌道「偏心率」e 的關係。 (1) 當 e = 0 時，軌道是圓形，也是物體能不碰到地面的最低速度。因此，將 e = 0 代入(68)得到 (69)「宇宙第一速度」= √( G*M／d ) = √(( 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2)*5.974*1027 gm／6636km ) = √(( 60.3 km2sec-2 ) = 7.8 km／sec (2) 在【橢圓性質說明】主題裡，有下面的圖： 由圖可看出：「焦點到最近點的距離」 d、「半長軸」 a、「偏心率」e 之間有如下關係 d = a * (1 - e) 在我們目前的情形裡，d 是固定為地球半徑。因此，當 e 越接近 1 ，橢圓的「半長軸」 a就越大。 當 e = 1 時，軌道變成無限大，也就產生物體脫離地球引力的狀況。因此，將 e = 1 代入(68)得到 (70)「宇宙第二速度」= √( 2* G*M／d ) = √( 2 ) * 「宇宙第一速度」= 1.414 * 7.8 km／sec = 11 km／sec

[註] 這裡所用到的推論和【數學推論 6】有重複的地方。 事實上，我們可以直接用【數學推論 6】的結論 (92) 「最近點」速率 = √( ((1 + e)*μ)／( (1 - e) * a) ) = √( ((1 + e)*μ)／d ) (用d=(1-e)*a代入) 將 e 分別用 0 和 1 代入，即可得到「宇宙第一速度」和「宇宙第二速度」。

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