# 【橢圓軌道的觀察】

## 【主題說明】

### 橢圓不是「蛋形」

常看到天文書上形容行星的軌道是「蛋形」，並不妥當。因為，「蛋」的一頭較尖，另一頭較鈍。這也是因為沒有適當的東西來比喻橢圓的緣故。我們應該很清楚地記得：橢圓的兩頭是完全對稱的，與「蛋形」有很大的出入。

### 行星和人造衛星的軌道

我們在上一個主題中，以牛頓的運動和萬有引力定律為基礎，用數學推演出以下的結論，這些結論比克卜勒三定律要更廣義些：

（1）行星繞日和衛星繞地球，軌道都是橢圓形。
橢圓有兩個焦點，所有軌道橢圓的引力中心（太陽或地球）都位在焦點（兩焦點之一）上。

（2）每個軌道裡，引力線掃瞄面積的速度永遠不變。

（3）同一個引力中心（例如太陽），所有軌道的運轉週期 T 和軌道半長軸 a 之間，有 a3／T2 = 常數 的關 係。

我們來看一下太陽系各行星的軌道：

> 星球 | 公轉週期 (地球年) | 軌道半長軸 (百萬公里) | 偏心率 e
> 水星 | 0.241 | 57.9 | 0.206
> 金星 | 0.615 | 108.2 | 0.0068
> 地球 | 1 | 149.6 | 0.0167
> 火星 | 1.88 | 227.9 | 0.093
> 木星 | 11.86 | 778.3 | 0.048
> 土星 | 29.46 | 1425.7 | 0.053
> 天王星 | 84.01 | 2878 | 0.047
> 海王星 | 164.8 | 4509 | 0.006
> 冥王星 | 247.7 | 5956 | 0.255

從偏心率來看，除了「水星」和「冥王星」外，其他七個行星的軌道都接近正圓。以火星為例，它的 b / a （半短軸／半長軸）= √（1 - e2）= √（1 - 0.0932 ） = 0.99567 。因此，克卜勒要從觀察數據中推斷行星的軌道是橢圓，不是正圓，實在不容易。

我們來計算一下所有行星的 a3／T2 比值，確實是接近一個常數：

> > > 57.9 3 / 0.241 2 = 3341962.75890567
> > > 108.2 3 / 0.615 2 = 3349126.49348933
> > > 149.6 3 / 1 2 = 3348071.936
> > > 227.9 3 / 1.88 2 = 3349016.42117474
> > > 778.3 3 / 11.86 2 = 3351750.7350156
> > > 1425.7 3 / 29.46 2 = 3339019.56487769
> > > 2878 3 / 84.01 2 = 3377616.98096801
> > > 4509 3 / 164.8 2 = 3375408.12300435
> > > 5956 3 / 247.7 2 = 3443594.88507022

### 「引力中心」在焦點上

雖然，橢圓「靜態的形狀」是兩端完全對稱；但是「動態」而言，橢圓的兩端並不對稱。

首先，「引力中心」並不是位在橢圓圓心，而是在（兩個焦點之一的）一個焦點上。也就是說，「引力中心」在長軸上，離長軸的一端較近，離另一端較遠。

### 「距離」和「速率」的關係

在物理學上，將「速度」與「速率」有做明確的區分：「速度」是一個向量 <v>（<v>≡<r>'），「速率」v （v≡|<v>|）是一個純量，只有數值，沒有方向。為明確起見，我們在此用「速率」一詞。

前文中，我們已經知道軌道上的物體，在接近「引力中心」時，速率較快，遠離「引力中心」時，速率較慢。

那麼「距離」r 和「速率」v 有什麼樣的關係呢？我們在此探討一下。

## 【數學推論 6】
### 【結論】 （A） 軌道上的物體，和「引力中心」的「距離」為 r，它運行的「速率」為 v，則 r 和 v 之間有如下關係： (91) v2 / 2 - μ/ r = - μ/(2*a) 在此， a = 半長軸 μ = G*M G（萬有引力常數）=6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M（地球質量） = 5.974*1027 gm (91)是學物理的人所熟知的式子，其中 v2 / 2 項是物體的「動能」， - μ/ r 項是物體的「位能」。 這個式子表示「能量不變定律」，「動能」和「位能」的總和永遠不變。（等號右邊是一個常數；「位能」永遠是負數，物體在無限遠時，位能最大，為 0 ，越接近「引力中心」，位能越小）。 （B） 由上面式子可推算出：物體在「最近點」、「最遠點」、「半短軸端點」三點的速率分別為， (92) 「最近點」速率 = √( ((1 + e)*μ)／( (1 - e) * a) ) (93) 「最遠點」速率 = √( ((1 - e)*μ)／( (1 + e) * a) ) (94) 「半短軸端點」速率 = √(μ／ a )
【推演過程】

## 【操作說明】

### 【同轉速軌道】

（1）按選此鈕 ，會顯示如下的圖形

圖中顯示四個橢圓軌道，它們有一個共同點就是它們的長軸相同。它們的偏心率不同，各如圖中所註明。

（2）每條軌道上都有刻度，請用滑鼠<左鈕>拖拉範圍的方式，將軌道的左端和右端放大，加以比較。
如下面四張圖所示：

圓形軌道的刻度分佈均勻，而橢圓形軌道則是左邊密而右邊疏。所有衛星在相鄰刻度間所需的時間完全相同。
所有軌道刻度的分佈各不相同，但每個軌道上「刻度的總數是一樣的」。

（3）按下【停走】操作盤／ 按鈕，各軌道上的物體即開始往前移動，如下圖

（4）請注意下面幾點：

(1) | 所有軌道上的物體，它的「週期」（在軌道上繞轉一週所需要的時間）全部一樣。 事實上，它們從長軸的一端到長軸的另一端（半周）所需的時間都相同。
(2) | 只有圓形軌道上，物體保持等速運行。橢圓形軌道上，物體移動的速度在長軸的兩頭有很大的不同，在長軸的右端速度最快，漸漸減速到長軸的左端速度變成最慢。橢圓越扁，速度的差異越大。軌道上刻度的疏密也表達了這種關係。
(3) | 橢圓越扁，軌道的「最近點」越貼近地球。但它的「最遠點」也越遠離地球。
(4) | 在上文中我們用數學證明：軌道的週期(T)與橢圓的長軸長度(a)有關，而與偏心率（橢圓的圓扁）無關。有興趣的讀者可以一讀。 ( T 與 a 的關係是： a3/T2 = 常數 ，因此，當 a 相同時，T 會相同。）

請注意： 前文中有陳述「克卜勒第三定律」如下 行星與太陽平均距離為R，行星繞太陽的週期為T，則各個行星的 R3／T2 比值皆相同。 仔細看這個陳述，與牛頓定律推導的結論略有出入。克卜勒第三定律用的是「行星與太陽平均距離R」，而牛頓定律推導的結論用的是「橢圓軌道長軸的長度 a」，兩者並不相同。當然，後者才是最正確的結論。事實上，太陽九大行星中，只有冥王星的軌道稍扁，其餘八個行星的軌道都極接近圓形，而在克卜勒的時代，天王星和海王星都還沒有發現，更不要說是冥王星了。對接近圓形的軌道，R和 a 的差異不易察覺，實不能苛求克卜勒。

### 【同圓心／同焦點】按鈕

這兩個是互相切換的開關，打開一個，另一個就自動關閉。

它們用來控制各軌道的相對位置。

打開 ，各軌道的圓心放在一起，方便比較物體的運行速度。

打開 ，各軌道的引力中心的焦點放在同一點，顯現出為何運行速度在長軸的兩頭會有差異如下圖；

軌道越扁，速度的變化越大，軌道上的「最近點」和「最遠點」與「焦點」的距離差異也變大。

### 【同偏心率軌道】

按選此鈕 ，會顯示如下的圖形

圖中顯示六個橢圓軌道。

它們有一個共同點就是它們的偏心率相同，因此，形狀相似。

它們的長軸長短不同，因此，大小不同。

上文中有陳述：軌道的週期(T)與橢圓的長軸長度(a)有關，而與偏心率（橢圓的圓扁）無關。
( T 與 a 的關係是： a3/T2 = 常數 ，因此，當 a 越大，T也 會越大。）