## 【數學推論 1】 在上面我們用兩種方式產生橢圓，但是，我們並沒有證明兩種方式得到的橢圓是相同的。 我們在此做一個簡單的證明。有興趣的讀者不妨參考一下。無興趣的讀者可略過。
### 【結論】 一個橢圓的「半長軸」為 1，圓心到焦點的距離為 e (0≦e＜1)，則 （1）它的「半短軸」為√(1 - e2) （2）它的數學式子是 (7) x = cos(t) (8) y = √(1 - e2)*sin(t) 0 ≦ t ≦ 2π, 0< e <1 （3）它的圓周上所有的點到兩焦點的「距離和」=長軸的長=2
[註] 本書中凡出現 √(xxxxxxx)yyyyy 即表示將√後面括號內(xxxxxxx)的部份（不含yyyy部份）開平方根。
### 【推演過程】 假設由兩焦點產生的橢圓上的任意點的座標為（x,y）。 由於兩個焦點的座標分別為（-e,0）,（e,0），因此，（x,y）到兩焦點的距離分別為 (9) A=√((x+e)2 + y2 ) (10) B=√((x-e)2 + y2 ) 我們來演算『（2）所表示的圖形，確實會有（3）的特性』。 將（2）的 x,y 代入（9）（10）中，並將（9）（10）相加 (11) A+B = √((cos(t)+e)2 +(√(1 - e2)*sin(t)) 2 ) +√((cos(t)-e)2 + (√(1 - e2)*sin(t))2 ) 將（）內式子化簡，得到 (12) A+B = √( 1 - 2*e*cos(t) + e2*cos2(t) ) +√(1 + 2*e*cos(t) + e2*cos2(t) ) （）內式子剛好可以化成平方，因此 (13) A+B = ( 1 - e*cos(t) ) + (1 + e*cos(t) ) = 2

回到本文