# 【宇宙第一、二速度】

## 【主題說明】

牛頓為了解釋「克卜勒行星運動三定律」，提出「萬有引力」定律，完美地解釋行星運行的原理。萬物都有直線行進的慣性，而也都有互相吸引的力量。行星受到太陽強大的引力，形成在橢圓軌道上的運動。

由於「萬有引力」的存在，在一個行星附近的物體，會受到行星的引力，而掉落到行星上。如果物體的速度夠快，則物體會繞著行星運轉，軌道也是一個橢圓。如果物體的速度夠快，則物體會脫離行星的引力，逸入太空中。討論一個星球時，我們都會提到它的「脫離速度」。

要使一個物體進入地球的軌道，所需的最低速度稱為「宇宙第一速度」。

要使一個物體脫離地球的引力，所需的最低速度稱為「宇宙第二速度」。

### 砲彈的比喻

在闡述物體行進軌跡與重力的關係時，常用砲彈做比喻。

如果我們在一個高山上，向水平方向發射一個砲彈，它最終會掉落地面。砲彈發射出去的速度越快，它落得越遠。如果速度一直加快，會是什麼情形呢？

我們已經知道地球是圓的，如果接受【牛頓第一運動定律】的說法，則若不是有地心引力，砲彈會直線前進，進入太空中。由於「萬有引力」的存在，砲彈會落回地面。
如果砲彈速度夠快，它應該會像行星繞日一樣，繞著地球轉（不考慮空氣阻力）。
如果砲彈速度更快，它就會脫離地球。

### 宇宙第一、二速度的推算

有了【牛頓運動定律、萬有引力定律】，加上牛頓發明的微積分，再加上對地球的質量和半徑的瞭解，我們不難算出所謂的「宇宙第一速度」和「宇宙第二速度」。

## 【數學推論 7】 在【牛頓運動定律 、 萬有引力定律】主題中，我們算出在萬有引力下，軌道的數學式子是 (21) r = h2／(G*M*( 1 + e * cosθ)) 是一個橢圓。我們可以用此結果，進一步算出「宇宙第一速度」和「宇宙第二速度」。
### 【結論】 (69)「宇宙第一速度」= √( G*M／d ) = √(( 6.7*10-8 cm3gm-1sec-2)*5.974*1027 gm／6636km ) = √(( 60.3 km2sec-2 ) = √(( 60.3 km2sec-2 ) = 7.8 km／sec (70)「宇宙第二速度」= √( 2* G*M／d ) = √( 2 ) * 「宇宙第一速度」= 1.414 * 7.8 km／sec = 11 km／sec d（地球的半徑 ）= 6676 km G（萬有引力常數）=6.7*10-8 cm3gm-1sec-2 M（地球質量） = 5.974*1027 gm
### 【推演過程】

由(69)(70)兩式可知

（1）所謂「宇宙第一、二速度」是以地球而言。

（2）所有的星球都有類似的數值，稱為各星球的「最低軌道速度」和「脫離速度」。

（3）各星球的「最低軌道速度」和「脫離速度」由它們的 M（星球質量）和 d（半徑）來決定。

（4） M（星球質量）越大，各星球的「最低軌道速度」和「脫離速度」也隨著加大。

（5） d（半徑）越大，各星球的「最低軌道速度」和「脫離速度」會變小。

（6）一個星球的「脫離速度」永遠是它的「最低軌道速度」的 1.414 倍。

（7）一個星球的「最低軌道速度」和「脫離速度」，只和星球的質量、半徑有關。和要運轉、要脫離物體的（質量等）性質無關。

## 【操作說明】

進入這個主題，會顯示如下的圖形

圖中顯示六個軌道（有些可能看不太到）。

運用滑鼠左鈕拖拉範圍的方式，將地球附近畫面放大如下圖：

再將【停走】操作盤／ 按鈕 打開，使地球變透明，可以看到地球內部還有一個軌道。如下圖：

### 軌道刻度的說明

參考上面的圖。

最小的軌道刻度是由許多「小線段」構成，兩條線段之間代表物體在「兩分鐘」所走的距離。

每「十分鐘」有一個刻度，用一個「小方塊」表示。

每「一個鐘頭」有一個刻度，用一個「小圓球」表示。

每一個軌道的刻度由它的「最低點」開始，以逆時鐘方向標記。就好像地球的軌道週期是 365.25 日，不是剛好整數。這些軌道的刻度回到「最低點」時，不會剛好整數個刻度。

（標示為「過低速（墜毀）」的物體，它的「最低點」是在地心的左方，不是右方。）

### 各軌道的說明

這個模型是用來顯示：

如果在地球表面附近，將一個物體在「水平方向」瞬間加速後，可能的各種情況。（我們假設完全沒有空氣阻力的存在。）

在上圖中，我們在赤道上（地球右端），往北方（圖中向上方向），以水平角度給六個物體不同的初速，形成六種不同的軌道。

各物體依其初速由小而大，分別說明如下：

### （1） 過低速（墜毀）

如果物體的初速不大，它就會以拋物線方式，墜落到地面。

我們故意讓地球可以變成透明，以顯示出：「如果地球可以被穿透（或者地球質量不變，但體積縮成很小，不會碰到物體的軌道），則物體會是在一個橢圓的軌道上運行」。所以，一般所說，「物體會以"拋物線"的軌道掉落地面」，是假設地表是水平的情況，只在小範圍內接近正確。最正確的說法，是「物體會以一個"橢圓圓周"的軌道掉落地面」

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（2）宇宙第一速度

如果物體的初速加大，它的軌道就會漸漸變成圓形，當軌道正好變為圓形時，這時的速度變稱為「宇宙第一速度」。

(a) 根據牛頓萬有引力定律，可以算出宇宙第一速度的值約是 7.8公里／秒。(參考前文的推算)
(b) 用「宇宙第一速度」這個名稱有點不妥，稱「最低軌道速度」較為妥當。這個速度是因為地球的體積和質量而得到的。每個星球都因為它的體積和質量，而各自有它的「最低軌道速度」。因此，將地球的「最低軌道速度」稱為「宇宙第一速度」是太誇大了些。

[問題二] （1）將模型放大，察看「宇宙第一速度」的軌道，數一下它的週期是多少？ 用地球的圓周四萬公里除以「宇宙第一速度」，所得到的週期是否相當？ （2）請問你知道一般民航機的時速是多少，是汽車的幾倍？ （3）宇宙第一速度又是民航機的幾倍？ （4）「同步衛星」的速度和高度是多少？ [答案]

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（3）低軌道衛星

我們已經知道地球的「最低軌道速度」，只要將物體加速到此速度，就可以保持不墜。當然，我們還要考慮到空氣阻力的存在。大氣層由於地球的重力而吸附在地表，距離地面越遠就越稀薄，在地面150公里就幾乎接近真空。而一般低軌道衛星的高度大約在地面600公里左右的上空。

我們可以做下面的比較：

地球的圓周是4萬公里。（民航機的時速約是 1000公里／小時（約是高速公路上汽車的10倍），約需40小時繞地球一週。這些數字很好記，不妨把它們記一下）
地球的半徑是 6636公里 （4萬公里／6.28），因此，低軌道衛星的高度約是地球半徑的 1／10。（附帶一提，民航機的越洋飛行高度約在 10 到 12 公里左右。）

我國的「中華衛星一號」是一顆低軌道衛星。

### （4）中軌道衛星

相對於低軌道衛星，中軌道衛星受到的空氣阻力較小，壽命較長。同時，它可以設定成橢圓軌道，並且讓它在特定的時間最接近地球的某個地區，以從事特定的探測、播放任務。

（5）同步衛星

地球的自轉週期是24小時（嚴格一點說，應是23時56分（一個恆星日）），一個衛星的週期與地球的自轉週期相同，也就是24小時繞地球一圈，就是一個「同步衛星」。

同步衛星的軌道通常是圓形，並且發送到赤道上空，做通訊用。因為他與地球自轉同步，因此，從地上看，他幾乎停留在空中一動也不動。

在【橢圓軌道的觀察】主題的【同轉速軌道】模型裡，我們看到軌道的週期是由橢圓的長軸來決定。在這裡，我們為了凸顯通過同一點，顯示的「同步衛星」是橢圓形的。把這個橢圓變成圓形（長軸不變），圓心移到地球的中心，才是常見的同步衛星。

根據牛頓萬有引力定律，可以算出圓形同步衛星的與地球中心的距離，約是43萬公里，約是地球半徑的 7 倍。

（6）宇宙第二速度

如果物體的初速加大到一定的地步，它就會掙脫地球的引力，一去不返。這個速度稱它為「宇宙第二速度」。

(a) 同樣的，用「宇宙第二速度」這個名稱有點不妥，稱「脫離速度」較為妥當。這個速度是因為地球的體積和質量而得到的。

(b) 用數學可以推算出：每個星球的「脫離速度」固定是它的「最低軌道速度」1.414倍。因此，地球的「脫離速度」約是11公里／秒。