# 【克卜勒行星運動三定律】

## 【主題說明】

牛頓有一句名言：「因為我站在巨人的肩膀上，因此，我能望得更遠。」，這話可適用於所有的科學家。克卜勒也不例外，談到他，就必須提到一個人──太戈•布拉。

太戈•布拉（Tycho Brache 念做 Tee-ko Brahe, 1546-1601）

太戈•布拉是丹麥的貴族，也是近代最偉大的肉眼天文觀察家（望遠鏡發明於1608年，伽利略是最早使用望遠鏡的天文學家之一）。 他具貴族身份又在少年時代就展現天文方面的才華，使他得到福瑞得瑞克二世的資助，他有機緣能使用當時西半球最好的天文台。天文台在丹麥外海的一個島上，雖然沒有望遠鏡，卻有精確的量角儀，精確度可以達到0.5分。他深信許多天文的真相必須透過精確的觀測數據才能揭露。因此，他對各個行星（當時只知道金、木、水、火、土5個行星），尤其是火星，做了長期有系統的觀測，得到大量高品質的數據。

太戈•布拉由於出身貴族，個性相當傲慢，他在大學的時候，曾經為了一個數學問題與人決鬥，因而失去鼻子，終其一生必須帶著一個金屬做的假鼻子。他雖然是一個偉大的觀測家，卻不是一個傑出的數學家，他需要一個好的數學家將他研究數據背後的迷解開來。在他的晚年，他搬到當時歐洲最文明的城市布拉格（Prague，今日捷克的首都）居住，得到年輕的助理克卜勒，展開天文學上最重要的一頁。

克卜勒（Johannes Kepler, 1571-1630）

克卜勒是一位德國人，他與太戈•布拉相反，他出身貧賤，從小體弱多病。他與太戈•布拉相同的是，他們都對天文有興趣。在他一生大部份的時間裡，他必須靠幫人排星運圖算命來維生，事實上，他每天也幫自己排一次星運圖。

克卜勒二十八歲時去當太戈•布拉的助手，過了兩年，太戈•布拉就去世了。克卜勒有寫日記的習慣，從他的日記可以看出他的努力不輟。在沒有計算器的情形下，每一個繁瑣的運算都只能用手算。他的目標是要找出一個數學曲線，表達出行星運轉的軌道。我們應該瞭解的是，在那個時代，將近兩千年以來，托勒密系統（Ptolemaic system, Claudius Ptolemaeus 所創,公元100─168年）一直深植人心，認為「地球是宇宙的中心，而圓是最美的曲線，所有的星星都是在某一個圓形軌道上」。因此，當他得到結論：行星是繞著太陽旋轉，它們運行的軌道是橢圓形時，他的內心的恐懼遠超過喜悅。

克卜勒在1609年發表他的第一和第二定律，1619年發表他的第三定律。他的著作當時也被教會所禁，與哥白尼（Nicolaus Copernicus, 1473-1543）的著作「太陽為行星運行中心的理論」命運相同。

克卜勒行星運動三定律

克卜勒第一定律 太陽系的所有行星，各自在以太陽為焦點的橢圓軌道上運行。 克卜勒第二定律 由太陽連至一行星的直線段，於相等時間內，掃過相等的面積。 克卜勒第三定律 行星與太陽平均距離為R，行星繞太陽的週期為T，則各個行星的 R3／T2 比值皆相同。

## 【操作說明】

### 【克卜勒第一定律】

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圖中顯示一個橢圓形的行星軌道，太陽位在兩個焦點之一的位置上。

這是一個代表性的圖，並不是某個特定行星的軌道。

按下【停走】操作盤／ 按鈕，行星即會繞著太陽運轉。

[註] 克卜勒第一定律 太陽系的所有行星，各在以太陽為焦點的橢圓軌道上運行。

[請注意] 在有些天文或物理書裡，為了幫助瞭解，用「實物」比喻，說行星的軌道像一個「蛋」的形狀。這種說法並不妥當，因為，「蛋」是一頭較「尖」，另一頭較「鈍」，而「橢圓」是兩頭完全對稱的。在【橢圓性質說明】主題裡，可以很明確的看到這一點。「蛋」的比喻，有可能誤導。

### 【克卜勒第二定律】

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圖中顯示一個橢圓形的行星軌道，太陽位在兩個焦點之一的位置上。

按下【停走】操作盤／ 按鈕，行星即會繞著太陽運轉。同時，在太陽和衛星中間出現了一個扇形，如下圖:

用滑鼠〈左鈕〉拖拉一個範圍可以將範圍內的圖形放大，試用此方法放大軌道的一部份，如下面二圖

在放大的圖裡可以看見很短的線段構成的刻度，每兩個刻度間代表衛星在「單位時間內運行的距離」。

衛星每次會前進一個刻度。若要觀察清楚，可以將【停走】操作盤／ 按鈕關閉，使衛星停止運行。然後用滑鼠點按 【停走】操作盤／ 按鈕，每按一次，衛星即前進一個刻度。

仔細觀察，可以發現，軌道上的刻度並不是均勻分佈的。在靠近太陽的地方，刻度最疏，表示在這裡，衛星移動最快。在遠離太陽的地方，刻度最密，表示在這裡，衛星移動最慢。

仔細觀察扇形，它在橢圓圓周上永遠跨越衛星後方的 5 個刻度。因此，扇形代表在 5 個單位時間內，太陽至行星的直線段，掃過的面積。根據克卜勒第二定律，扇形的面積永遠不變。（我們取「5」個單位時間，並無特別用意，用任何其它數字都可以。）

[註] 克卜勒第二定律 由太陽連至一行星的直線段，於相等時間內，掃過相等的面積。

### 【克卜勒第三定律】

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圖中顯示三個圓形的行星軌道。

我們以最大的軌道為準，假設它的軌道半徑為 1，運轉週期為 1。

當軌道半徑縮減為0.63時，它的運轉週期變為0.5。

當軌道半徑縮減為0.5時，它的運轉週期變為0.354。

它們都保持 R3／T2 =1 的關係。

按下【停走】操作盤／ 按鈕，可以觀察各軌道運轉的情形。

[註] 克卜勒第三定律 行星與太陽平均距離為R，行星繞太陽的週期為T，則各個行星的 R3／T2 比值皆相同。