# 【橢圓性質說明】

## 【主題說明】

## 壓扁的圓形

### 圓形

圓形是大家熟知的一種幾何圖形：

平面上任意取一點，與這一點距離為 R 的所有的點即構成一個「圓」。

其中心點稱為「圓心」，R 稱為「半徑」。

用數學式子表示通常有兩種方式：

> > (1) x2 + y2 = R2

> > (2) x = R*cos(t)
> > y = R*sin(t) 0 ≦ t ≦ 2π

### 橢圓形

橢圓形可以看成是一個『被壓扁的圓形』，用數學式子表示也有兩種方式：

> > (3) x2 ╱a2 + y2╱b2 = 1

> > (4) x' = a*cos(t)
> > y' = b*sin(t) 0 ≦ t ≦ 2π

> > 用 R≡ a, s = b/a 代替， (4) 可以表示成

> > (5) x' = R*cos(t)
> > y' = R*s*sin(t) 0 ≦ t ≦ 2π, 0<s<1

將(2)與(4)相比較，差別在於 : 對相同的 x ，橢圓形的 y' 和圓形的 y 有下面的關係

> > x' = x
> > y' = y*s ( 0<s<1 )

換句話說，把圓形上的每一個點的高度乘以 s (0<s<1)，就可以得到一個橢圓。

在【模型操作】裡，選擇 / 可以看到不同 s 值的橢圓。

## 圓周與兩焦點的距離和為常數

在作圖上，我們可以用下面的方式畫出一個橢圓：

將一條繩索的兩頭接起來，形成一個繩圈。將繩圈平放在地上，在繩圈內釘兩個樁，用手指將繩圈往外拉緊，使兩個樁和手指形成一個三角形。保持繃緊的三角形的情況下，將手指繞著兩個樁旋轉，則手指所畫出的圖形便是一個橢圓。

在【模型操作】裡，選擇 / ，然後按選 鈕，可以看到照此方法畫出的橢圓。如下圖所示：

兩個「樁」稱為橢圓的兩個「焦點」。

橢圓上相距最遠的兩點間的線段稱為橢圓的「長軸」。很明顯的，「長軸」會通過兩個「焦點」。

在畫出橢圓時，繩圈的長度是固定的，也就是說，三角形三邊的和是固定的。因為兩個樁的距離固定，因此，橢圓圓周與兩焦點的距離和為常數。在模型裡，橢圓圓周與兩焦點的距離分別標示為 A 和 B ，也就是說 A+B=常數 。

其實，這 A+B 的長度也正是「長軸」的長度。因為，當圓周的點到達長軸的一端時，A 和 B 重疊在長軸上，把 B 移到長軸的另一頭，和 A 接在一起，正好湊成一條長軸。因此，A+B = 長軸。如下圖所示

### 「偏心率」

在橢圓裡，有一項重要的參數

> > e = 兩個焦點間的距離／長軸的長度

很顯然，0≦ e ＜1。

當 e=0 （即兩焦點合而為一）時，橢圓便變成一個「正圓」。

而 e 越接近 1 ，橢圓便越扁。

e 被稱為是橢圓的「偏心率」。

一個正圓，只要確定它的半徑 R，就決定它的大小。
一個橢圓，需要兩個參數，在上面的（3）（4）式子中的 a、b （半長軸和半短軸）可決定橢圓的形狀和大小。
我們可以用另一組參數來決定橢圓的形狀和大小：「半長軸」和「偏心率」。

下圖顯示橢圓各部份的關係：

### 「半短軸」與「偏心率」的關係

為方便起見，我們令長軸的長度為2（即半長軸的長度是1），則兩焦點的距離為 2e，而圓心到兩焦點的距離都是 e。我們來看「短軸」長度和 e 的關係。

我們已經知道 e 越大（越接近 1） ，橢圓便越扁，短軸也就越短。

在「短軸」的端點上，由於對稱的關係，A=B。而 A+B=長軸=2,因此，A=B=1。

而已知焦點到圓心的距離是 e ，根據畢氏定理，圓心、焦點、短軸端點所構成的直角三角形裡，

> > 半短軸2 + e2 = 12

因此，

> > (6) 半短軸=√（1 - e2）

## 【數學推論 1】 在上面我們用兩種方式產生橢圓，但是，我們並沒有證明兩種方式得到的橢圓是相同的。 我們在此做一個簡單的證明。有興趣的讀者不妨參考一下。無興趣的讀者可略過。
### 【結論】 一個橢圓的「半長軸」為 1，圓心到焦點的距離為 e (0≦e＜1)，則 （1）它的「半短軸」為√(1 - e2) （2）它的數學式子是 (7) x = cos(t) (8) y = √(1 - e2)*sin(t) 0 ≦ t ≦ 2π, 0≦ e <1 （3）它的圓周上所有的點到兩焦點的「距離和」= 長軸的長 = 2
[註] 本書中凡出現 √(xxxxxxx)yyyyy 即表示將√後面括號內(xxxxxxx)的部份（不含yyyy部份）開平方根。
### 【推演過程】

## 用「極座標」來表達橢圓

我們在上文中所給的橢圓式子是

> > (7) x = a*cos(t)
> > (8) y = a*√(1 - e2)*sin(t) 0 ≦ t ≦ 2π, 0≦ e <1

> > （ a 是「半長軸」的長度）

這是用直角座標的情形。

另外有一種很有用的表達方式，是用極座標，以焦點為原點，如下圖所示：

橢圓式子是

> > (14) r = a*(1 - e2)／(1 + e*cosθ) 0 ≦ θ ≦ 2π, 0≦ e <1

> > （ a 是「半長軸」的長度）

## 【數學推論 2】 在此證明：(7)(8)兩式所代表的圖形，可轉換成（14）式。 為方便起見，我們令半長軸的長度是 1。
### 【結論】 如下圖所示 一個橢圓的任意點（x,y）的數學式子是 (7) x = cos(t) (8) y = √(1 - e2)*sin(t) 0 ≦ t ≦ 2π, 0≦ e <1 則它與焦點的距離 r 可表達成 (14) r =(1 - e2)／(1 + e*cos ) 0 ≦ t ≦ 2π, 0≦ e <1 其中，θ是（x,y）與長軸的夾角，如上圖所示。
### 【推演過程】

[問題一] (1) 從一個橢圓的焦點出發，到橢圓圓周上，距離最近的是哪一點，最遠的是哪一點，距離各是多少？ (2) 從焦點到短軸兩端點的距離是多少？ （假設橢圓的半長軸的長度是 a ） 『答案』

## 【操作說明】

### 壓扁的圓形

> 選擇這個選項，可以觀察不同扁度的橢圓形。

### 圓周與兩焦點的距離和為常數

> 選擇這個選項，可以調變「焦點距離」和「長軸長度」，以產生不同的橢圓。

> ### 焦點距離

> > 按點 『[] [] 按鈕』 可以調變「焦點距離」。

> ### 距離和（長軸長度）

> > 按點 『[] [] 按鈕』可以調變「長軸長度」。

> ### 開始

> > 按點此按鈕，即可見到畫出橢圓。